高中数学：两圆的方程相减得到的方程是怎样的曲线?

【读者必看】为防止喜欢《许兴华数学》的朋友失联，敬请长按二维码识别关注备用公众号《许兴华文摘》：

【几点说明】公众号《许兴华数学》诚邀全国各地中小学数学教师、教研员和数学爱好者热情投稿！来稿时请注意以下五点：（1）来稿请注明真实姓名、工作单位、联系方式（无具体工作单位和真实姓名的投稿，一般都不会采用）。

（2）来稿一般要求同时用word文档和PDF格式的电子稿件（防止不同版本的Word打开时出现乱码）。另外，也接受少数著名教师的手写稿（手写稿必须清晰可读）。

（3）每篇文章请认真审查复核，防止错误发生，来稿文责自负。如有抄袭，则有可能被举报并受到有关著作版权部门的追责。
（4）投稿邮箱：[e-mail]；或投稿到QQ邮箱: [e-mail].

（5）本公众号对优秀作者和名师一般会附上“作者简介”，以让广大读者更好地了解作者的研究成果和方向，以便进一步学习作者的相关数学思想或解题方法。

【来源】金磊讲几何构型。

编者注：

    本专题本来我打算放到后面写，但是昨天和今天通过考试及学生提问，我发现很多学生对圆幂的概念不清，产生了极大的错误，所以先写一篇概念，以正视听。

【注】文章原标题是《圆幂定理及其应用之一》，《许兴华数学》对标题进行了修改，目的是让读者方便在公众号上搜索时容易查找到此内容。

“yuan”幂

“yang”幂

    妻子看到这篇文章的标题，第一反应是“杨幂定理”！不过读起来确实有点相像，虽然“圆幂定理”在数学中是很著名的定理，不过在当今中国应该还是没有电影演员杨幂的名气大吧？

    言归正传，作为第一篇，本篇主要写关于圆幂的三个概念：点对圆的幂、两圆根轴、三圆根心。

    众所周知，如图，半径为r的圆O内相交于E两弦AB、CD，有相交弦定理：

    AE*BE＝CE*DE=r^2-OE^2,

    同样对半径为r的圆O外点E，ET为圆切线，EAB、ECD为割线，则有切割线定理[1]：

ET^2＝EA*EB＝EC*ED=OE^2- r^2。

    为了把他们统一起来，我们引入点E对半径为r的圆O的幂[2] 为：

由定义知:

    E在圆内时，p(E)<0,为过E的与OE垂直的弦长一半的平方的相反数；

    E在圆上时，p(E)=0；

    E在圆外时，p(E)>0，即为过E的圆的切线长的平方。

从而圆幂的范围为：

若过E的任意直线交圆O于A、B两点，则容易证明：圆幂定理：

    用向量（或者有向线段）的乘积表示圆幂的目的就是为了将切割线定理和相交弦定理中的正负号统一起来。

    这里需要特别强调的是：刚开始接触圆幂概念的人会觉得很奇怪，为什么要引入一个负值呢，明明两个线段的乘积为正的，为什么要画蛇添足，引入有向线段的乘积来表示圆幂呢？所以很多竞赛教材都将圆幂定义成

    这恰恰是画蛇添足！还有些教材觉得加不加绝对值无所谓，都是合理的。事实上，定义中绝对不能加绝对值！！至于原因，请允许我先买个关子，一会儿讲到根轴的时候再说明。

在解析几何中，点E（a,b）对圆O：

的幂，不难用定义得到

    这样定义圆幂其实更简单明了，就是将点的坐标带入圆的解析式中即可。

    对一个圆而言，每个点都有一个圆幂。下面自然的问题是对两个圆呢？最简单的问题是：对两个圆的幂相等的点轨迹是什么？

    当然很多人知道这就是所谓的两圆的根轴，是一条与两圆连心线垂直的直线，若两圆相交，根轴即为两圆公共弦。

    要用纯几何方法证明，需要一个引理——定差幂线：到两个定点距离的平方差为定值的点的轨迹为一条与此两点连线垂直的直线：

这很容易用勾股定理证明，此定理等价于命题：

    四边形ABCD中，AC丄BD的充要条件是

AB^2+CD^2=AD^2+BC^2。

    这个也可以参考本公众号的上一篇文章[3]。

1）当圆两外离时，根轴位于两圆之间，一般不过连心线中点，也不过两内公切线交点。事实上，是两圆四条公切线段中点所在的直线（不难由定义证明此四点对两圆的幂相等）。

2）不难想像，当两圆外切时，根轴为其内公切线。

3）当两圆相交时，根轴为两圆的公共弦（很显然两交点对两圆的幂都是0）。当然根轴平分两圆外公切线。

4）不难理解，当两圆内切时，根轴为两圆外公切线。

5）当两圆内含时，根轴位于圆外。

6）当两圆同心而半径不等时，根轴为无穷远线，有时候也说此时根轴不存在，因为显然根轴的方程无解。

    特别的，1）当两圆半径相等时，根轴为圆心连线的垂直平分线。

2）我们可以认为一个点是一个半径为0的圆（一般称为点圆），这样当两圆中由一个圆退化为点的时候结论依然成立。

    其实上述结论从解析几何角度看更简单。设动点P(x,y),两圆方程为

    由圆幂的解析定义得

    即两圆方程相减即可，这个相信大家都不陌生，我们在学习圆的方程时都知道两圆公共弦即为两圆方程相减得到的直线。很多学生会问如果两圆不想交，方程相减得到的直线是什么？其实就是两圆的根轴，此直线上所有的点对两圆的幂相等。特别的当两圆外离或内含时，此直线是对两圆切线长相等的点的轨迹。

    现在回到圆幂的定义中来，如果定义点对圆的幂加上绝对值，那对两圆的幂相等的点的轨迹还是这条直线吗？直线当然满足，但是还有其他的点也满足对两圆的幂相等。例如下图中，两圆相交于AB时，过B任作直线交两圆于C、D，CD中点为E，则显然

    EB*EC=EB*ED.

    即E也对两个圆的幂相等。

    不难证明E的轨迹是以连心线中点为圆心，过A和B的一个圆。则对两圆等幂的点的轨迹不只是直线AB，还有这个圆，这样根轴的概念就完全乱套了，很多用根轴证明的问题就都错了。所谓差之毫厘谬之千里！

    所以再强调一遍，点对圆的幂定义中一定不能加上绝对值！希望以后读者在给其他人讲解圆幂定义的时候一定要反复强调此点，并设法纠正很多竞赛书中的定义错误，以免谬种流传，误人子弟！当然这里再次重申数学中最重要的一定是数学概念！

    特别要说的是，萧振纲老师几乎每一次上课讲到圆幂时都会反复强调上述定义问题。

    当然这从解析几何角度看也是显然的，加上绝对值以后就要分同号异号讨论，同号时是直线，异号时显然是圆。

    还可以考虑更一般的问题：对两个圆的幂的比值为定值的点的轨迹，不难想象一般是一个圆，当两圆退化为点圆时即为阿波罗尼斯圆。不再赘述。

    进一步，有根心定理（也称为蒙日定理）：对三个圆的幂相等的点一般是唯一的。

    即三个圆的根轴交于一点或者两两平行（此时我们认为他们交于无穷远点）。

    证明不难，假设两条根轴交于P，则此点对三圆等幂，从而在第三条根轴上。

    根据三个圆的位置关系，根心的图形会有很多，

    特别的当三圆两两相交时，三条公共弦交于一点。

    当三个圆心共线时，三条根轴两两平行。

    当三个圆退化为点圆时，根心即为三个圆心构成的三角形的外心。

    从解析几何角度看也是显然的，三个圆的方程两两相减得到三条直线方程，这三条直线共点。因为其中两条直线加或减即为第三条直线。

    本文介绍了关于圆幂、根轴、根心的基本知识，点对圆的幂的定义非常重要，由此可以推出一门新的几何学——圆几何学，进一步可以得到共轴圆系、反演、开世(Casey)定理等，有兴趣的读者可以进一步参考[4]。

参考文献：

1、《切割线定理及其应用一 ~ 五》公众号：金磊讲几何构型  2018年9月6日、9月8日、9月26日、10月1日、10月6日文章

2、《几何变换与几何证题》萧振纲 哈尔滨工大 出版社 2010年5月

3、《一以贯之的向量法1》 公众号：金磊讲几何构型  2018年11月2日文章

4、《近代欧氏几何学》约翰逊 著 单墫 译 上海教育出版社  1999年8月